Arf, he conseguido que salga el candadito verde como página segura. La verdad es que no sé muy bien lo que he hecho, pero he aquí los pasos que he seguido:

• En el hosting (estoy en Dreamhost), le he dado a «conexión segura».
• He editado el .htaccess para que fuerce la conexión segura con este código:

RewriteEngine On
RewriteCond %{HTTPS} !=on
RewriteRule ^(.*)$ https://%{HTTP_HOST}%{REQUEST_URI} [L,R=301] 

• He ido a ajustes > general y le he dicho a WordPress que la dirección siempre empieza por https.

Voilà!